二元一次方程組與向量的線性組合

克拉瑪公式

三元一次方程組的幾何意義

係數矩陣與增廣矩陣

高斯消去法

一次方程組

矩陣的定義與矩陣相等

矩陣的加減法與係數積

矩陣的乘法

單位矩陣與反矩陣

矩陣與二元一次方程組

矩陣的運算

轉移矩陣

特定線性變換：旋轉、鏡射、伸縮、推移

矩陣的應用

矩陣

#### 矩陣的乘法

矩陣乘法只有當第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數時才能進行，並且它的結果將是一個新的矩陣，其行數等於第一個矩陣的行數，列數等於第二個矩陣的列數。意即，當矩陣$A$是$a\times b$的矩陣，矩陣$B$是$c\times d$的矩陣，只有當$b=c$時，$A\times B$才有意義，且$A\times B$會得到一個$c\times d$的矩陣。

例如：
$$
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} 
$$
$$
= \begin{bmatrix} 1 \times 7 + 2 \times 9 + 3 \times 11 & 1 \times 8 + 2 \times 10 + 3 \times 12 \\ 4 \times 7 + 5 \times 9 + 6 \times 11 & 4 \times 8 + 5 \times 10 + 6 \times 12 \end{bmatrix} 
$$
$$
= \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}
$$

矩陣乘法有下列性質：
1. 結合律：$A(BC) = (AB)C$。
2. 分配律： $A(B+C) = AB + AC$ 和 $(B+C)A = BA + CA$
3. 矩陣乘法不滿足交換律，即 $AB$ 不一定等於 $BA$。




#### 矩陣的加法
兩個相同大小的矩陣進行加法運算時，只需將它們對應位置的元素相加，生成一個新的矩陣。

例如，假設有以下兩個 $2 \times 3$ 的矩陣 $A$ 和 $B$：
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{bmatrix}
, B=\begin{bmatrix}
7 & 8 & 9 \\
10 & 11 & 12 \\
\end{bmatrix}
$$

則它們的和 $C = A + B$ 為：
$$
C=\begin{bmatrix}
1 + 7 & 2 + 8 & 3 + 9 \\
4 + 10 & 5 + 11 & 6 + 12 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
8 & 10 & 12 \\
14 & 16 & 18 \\
\end{bmatrix}
$$
矩陣的加法滿足以下性質：
1. 交換律：$A + B = B + A$
2. 結合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$
3. 加法單位元素：存在加法單位元素 $O$，其中$O$的任一元素皆為$0$，又稱為「零矩陣」。
4. 存在加法反元素：對於任意矩陣 $A$，存在一個矩陣$-A$，使得 $A + (-A) = O$。

#### 矩陣的減法

如上所述的矩陣$A, B$，若$D=A-B$，則：
$$
D=\begin{bmatrix}
1 - 7 & 2 - 8 & 3 - 9 \\
4 - 10 & 5 - 11 & 6 - 12 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-6 & -6 & -6 \\
-6 & -6 & -6 \\
\end{bmatrix}
$$

#### 矩陣的係數積

矩陣的係數積指的是一個實數 $k$ 和一個 $m \times n$ 矩陣 $A$ 的積，記作 $kA$，其結果是一個 $m \times n$ 矩陣，其中每個元素都是 $k$ 乘以 $A$ 對應位置的元素。

例如，如果 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，則 $2A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\  6 & 8 \end{bmatrix}$。



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